2. 学历类
  3. 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则A.AE-A不可逆，E+A

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则A.AE-A不可逆，E+A

最全题库2022-08-02  44
问题 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则A.AE-A不可逆，E+A不可逆B.E-A不可逆，E+A可逆C.E-A可逆，E+A可逆D.E-A可逆，E+A不可逆
选项 A.AE-A不可逆，E+A不可逆
B.E-A不可逆，E+A可逆
C.E-A可逆，E+A可逆
D.E-A可逆，E+A不可逆
答案 C
解析 判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆
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