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设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则A.AE-A不可逆,E+A
设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则A.AE-A不可逆,E+A
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2022-08-02
138
问题
设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则A.AE-A不可逆,E+A不可逆B.E-A不可逆,E+A可逆C.E-A可逆,E+A可逆D.E-A可逆,E+A不可逆
选项
A.AE-A不可逆,E+A不可逆
B.E-A不可逆,E+A可逆
C.E-A可逆,E+A可逆
D.E-A可逆,E+A不可逆
答案
C
解析
判断矩阵A可逆通常用定义,或者用充要条件行列式|A|≠0(当然|A|≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E,(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E,所以,由定义知E-A,E+A均可逆.故选(C).【评注】本题用特征值也是简捷的,由A^3=O
A的特征值λ=0
E-A(或E+A)特征值均不为0
|E-A|≠0(或|E+A|≠0)
E-A(或E+A)可逆
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数学一研究生题库研究生入学分类
数学一研究生
研究生入学
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