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设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1
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2022-08-02
45
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵,求B的全部特征值与特徊向量。
选项
答案
解析
B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到,所以B的全部特征值为-2,1,1。由前述可知,α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量,而A为实对称矩阵,于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交,故可设B的属于1的特征向量为(x1,x2,x3)T,所以有方程x1-x2+x3=0,求得B的属于1的特征向量为β2=(-1,0,1)T,β3=(1,1,0)T。因而,矩阵B属于特征值-2的特征向量是k1(1,-1,1)T,其中k1是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k2(-1,0,1)T+k3(1,1,0)T,其中k2,k3是不为零的任意常数。
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