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  3. 设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2

设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2

考试题库2022-08-02  25
问题 设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A＊为A的伴随矩阵，则A＊x＝0的通解为（　　）。A． x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3为任意常数 B． x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数 C． x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数 D． x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数
选项 A． x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3为任意常数
B． x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数
C． x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数
D． x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数
答案 C
解析 由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。由可知r（A＊）＝1。故A＊x＝0得基础解系含有3个解向量。因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。又A＊A＝A＊（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A＊x＝0的解。综上，a1，a3，a4为A＊x＝0的一个基础解系，故A＊x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数。故应选C项。
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