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设P(x)为多项式,a是P(x)=0的r重根,证明:a是P’(x)=0的r-1重
设P(x)为多项式,a是P(x)=0的r重根,证明:a是P’(x)=0的r-1重
练习题库
2022-08-02
58
问题
设P(x)为多项式,a是P(x)=0的r重根,证明:a是P’(x)=0的r-1重根。
选项
答案
解析
由于a是P(x)=0的r重根,所以存在多项式g(x)使得,P(x)=(x-a)’g(x),这里g(x)不能被x-a整除,于是P'(x)=r(x—a)r-1g(x)+(x-a)’g’(x)=(x-a)r-1[rg(x)+(x-a)g’(x)]。由于g(x)不能整除x-a,所以g(a)≠0,于是[rg(x)+(x—a)g’(x)]x=a=rg(a)≠0,从而[rg(x)+(x—a)g’(x)]不能被x-a整除。因此,a是P’(x)=0的r-1重根。
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