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  3. 设P（x）为多项式，a是P（x）=0的r重根，证明：a是P’（x）=0的r-1重

设P（x）为多项式，a是P（x）=0的r重根，证明：a是P’（x）=0的r-1重

练习题库2022-08-02  63
问题 设P（x）为多项式，a是P（x）=0的r重根，证明：a是P’（x）=0的r-1重根。
选项
答案
解析 由于a是P（x）=0的r重根，所以存在多项式g（x）使得，P（x）=（x-a）’g（x），这里g（x）不能被x-a整除，于是P'（x）=r（x—a）r-1g（x）+（x-a）’g’（x）=（x-a）r-1[rg（x）+（x-a）g’（x）]。由于g（x）不能整除x-a，所以g（a）≠0，于是[rg（x）+（x—a）g’（x）]x=a=rg（a）≠0，从而[rg（x）+（x—a）g’（x）]不能被x-a整除。因此，a是P’（x）=0的r-1重根。
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