设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠6.证明:A可对角化.

题库2022-08-02  26

问题 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠6.证明:A可对角化.

选项

答案

解析 【证明】由(aE-A)(bE-A)=O,得|aE-A|·|bE-A|=0,则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O,得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r[(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n,
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0,则r(aE-A=n,所以r(bE-A)=0,故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0,则r(bE-A)=n,所以r(aE-A)=0,故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0,则a,b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量,即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个;
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量,即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n,所以矩阵A有n个线性无关的特征向量,所以A一定可以对角化.
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