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  3. 设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β

设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β

免费题库2022-08-02  15
问题 设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：　　(Ⅰ)秩r(A)≤2；　　(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.
选项
答案
解析 【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：因为那么从而r(A)≤2.
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