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设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有三个不同的特征值,且α3=α1+2α2。
设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有三个不同的特征值,且α3=α1+2α2。
admin
2022-08-02
73
问题
设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有三个不同的特征值,且α3=α1+2α2。(1)证明:r(A)=2;(2)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。
选项
答案
解析
(1)证明:设矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3(λ1≠λ2≠λ3),则存在可逆矩阵P使得A=P-1?diag(λ1,λ2,λ3)P,所以r(A)=r(diag(λ1,λ2,λ3)),因为λ1≠λ2≠λ3,所以r(diag(λ1,λ2,λ3))≥2,即r(A)≥2,又α3=α1+2α2,也就是α1,α2,α3线性相关,所以r(A)<3。因此r(A)=2。(2)因为r(A)=2,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只有一个非零解向量,由于α1+2α2-α3=0,
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中学数学学科知识与教学能力题库教师资格笔试分类
中学数学学科知识与教学能力
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