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  3. 设三阶矩阵A=（α1，α2，α3）有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。

设三阶矩阵A=（α1，α2，α3）有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。

admin2022-08-02  68
问题 设三阶矩阵A=（α1，α2，α3）有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。（1）证明：r（A）=2；（2）若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。
选项
答案
解析 （1）证明：设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3（λ1≠λ2≠λ3），则存在可逆矩阵P使得A=P-1?diag（λ1，λ2，λ3）P，所以r（A）=r（diag（λ1，λ2，λ3）），因为λ1≠λ2≠λ3，所以r（diag（λ1，λ2，λ3））≥2，即r（A）≥2，又α3=α1+2α2，也就是α1，α2，α3线性相关，所以r（A）＜3。因此r（A）=2。（2）因为r（A）=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只有一个非零解向量，由于α1+2α2-α3=0，
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