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  3. 设函数f（x）在[a，b]上连续，满足f（[a，b]）∈[a，b]。证明：存在x

设函数f（x）在[a，b]上连续，满足f（[a，b]）∈[a，b]。证明：存在x

资格题库2022-08-02  39
问题 设函数f（x）在[a，b]上连续，满足f（[a，b]）∈[a，b]。证明：存在x0，∈[a，b]，使得f（x0）=x0。
选项
答案
解析 若f（a）=a或f（b）=b，只需令x0=a或b即可，下面假设f（a）≠a，f（b）≠b。
令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[a，b]上连续。由于f（[a，b]）∈[a，b]，且f（a）≠a，f（b）≠b，所以F（a）=f（a）-a>0，F（b）=f（b）-b＜0，于是由零点存在定理可知，存在x0∈[a，b]，使得F（x0）=0，即f（x0）=x0。
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