设P(x)为多项式,a是P(x)=0的r重根。证明:a是P’(x)=0的r-1重

最全题库2022-08-02  42

问题 设P(x)为多项式,a是P(x)=0的r重根。证明:a是P’(x)=0的r-1重根。

选项

答案

解析 由于a是P(x)=0的r重根,所以存在多项式g(x),使得P(x)=(x-a)'g(x),这里g(x)不能被x-a整除,于是P’(x)=r(x—a)r-1g(x)+(x—a)‘g’(x)=(x-a)r-1[rg(x)+(x-a)g’(x)]。由于g(x)不能整除x-a,所以g(a)≠0,于是[rg(x)+(x-a)g’(x)]|x=a=rg(a)≠0,进而可知,[rg(x)+(x一a)g’(x)]不能被x-a整除。因此,a是P'(x)=0的r-1重根。
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