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求解一元二次方程的核心思想是“降次”，将一元二次方程转化为一元一次方程。《义务教

资格题库2022-08-02  80
问题 求解一元二次方程的核心思想是“降次”，将一元二次方程转化为一元一次方程。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。请完成下列任务：（1）请至少说出3种课标要求中解一元二次方程的方法所包含的降次过程；（5分）（2）设计公式法解一元二次方程的主要教学过程；（15分）（3）运用因式分解法计算一元二次方程比较简单，初中常用的因式分解法是十字相乘法，请写出十字相乘法的主要步骤。（10分）
选项
答案
解析 （1）①配方法是通过将一元二次方程配成完全平方式的形式，从而转化成两个一元一次方程进行求解。其基本步骤为先移项（把常数项移到方程的右边），再把二次项系数化为1，之后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化为完全平方式，最后进行开平方降次。②运用公式法求解一元二次方程的前提是方程必须是一般形式的一元二次方程（即ax2+bx+c=0（n≠0）），根据求根公式即可求解。因为公式法是由配方法推导得出的，所以公式法的降次过程实质上与配方法相同。③运用因式分解法进行求解的前提是方程的左边可以分解，方程的右边为0。因式分解法不是用开平方降次的，而是通过因式分解把方程化为两个一次多项式的乘积等于0的形式，再令这两个一次多项式分别等于0，从而实现降次。（2）教学过程一、旧知回忆教师带领学生回忆配方法解一元二次方程的相关旧知，之后给出相关习题供学生练习，然后找学生板演，教师评价。习题：用配方法解下列方程。二、新知探究1．提问：如何用配方法来求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）?教师让学生运用配方法进行求解，并巡视指导。2．找学生板演过程，教师指导后做如下订正。3．提问：一定有解吗?在什么情况下无解?有解的条件是什么?学生小组讨论后，得出结论，教师做如下归纳。①当b2—4ac＜0时，等式右边是负数，此时一元二次方程无解。②现在讨论有解的情况：当b2—4ac=0时，等式右边是0，此时一元二次方程有两个相等的实解，即当b2—4ac>0时，等式右边是正数，此时一元二次方程有两个不相等的实解，即三、教师小结教师结合板书和归纳内容，进一步指出：一元二次方程有、无解是通过b2—4ac判断的，所以把b2—4ac称为根的判别式，记为△。教师进一步小结公式法：对于一般形式（ax2+bx+c=0（a≠0））的一元二次方程，当△≥0时，方程有解，四、巩固练习教师让学生运用公式法解课堂开始时给出的三道习题，并做对比分析，感受两种方法间的联系。（3）十字相乘法的主要步骤：①将二次项系数分解为两数乘积；②将常数项分解为两数乘积；③交叉相乘所得和相加，验证一次项系数是否与原一元二次方程相同。
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