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  3. 设 f(x)是[0，1]上的可导函数，且厂 f'(x)有界。证明：存在 M>0，

设 f(x)是[0，1]上的可导函数，且厂 f'(x)有界。证明：存在 M>0，

考试题库2022-08-02  15
问题 设 f(x)是[0，1]上的可导函数，且厂 f'(x)有界。证明：存在 M>0，使得对于任意 x1，x2∈[0，1]，有|f(x1)-f(x2)| ≤M|x1-x2|。
选项
答案
解析 本题考查微分中值定理。 当 x1=x2时结论显然成立。不妨设 x1＜x2，因为 f(x)是[0，1]上的可导函数，所以 f(x)在区间[x1，x2]上连续，在区 间(x1，x2)上可导，由拉格朗日中值定理可得，存在-点ξ∈(x1，x2)，使得 f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2)，即有｜ f(x1)-f(x2)|=|f'(ξ)| |x1-x2|。因为 f'(x)有界，故存在 M>0，对任意 x∈[0，1]都有|f'(x)|≤M，所以|f'(ξ)| ≤M。故|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2 |。
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