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设 f(x)是[0,1]上的可导函数,且厂 f'(x)有界。证明:存在 M>0,
设 f(x)是[0,1]上的可导函数,且厂 f'(x)有界。证明:存在 M>0,
考试题库
2022-08-02
18
问题
设 f(x)是[0,1]上的可导函数,且厂 f'(x)有界。证明:存在 M>0,使得对于任意 x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)| ≤M|x1-x2|。
选项
答案
解析
本题考查微分中值定理。 当 x1=x2时结论显然成立。不妨设 x1<x2,因为 f(x)是[0,1]上的可导函数,所以 f(x)在区间[x1,x2]上连续,在区 间(x1,x2)上可导,由拉格朗日中值定理可得,存在-点ξ∈(x1,x2),使得 f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2),即有| f(x1)-f(x2)|=|f'(ξ)| |x1-x2|。因为 f'(x)有界,故存在 M>0,对任意 x∈[0,1]都有|f'(x)|≤M,所以|f'(ξ)| ≤M。故|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2 |。
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