2. 学历类
  3. 设函数fi（x）（i＝1，2）具有二阶连续导数，且fi″（x0）＜0（i＝1，2

设函数fi（x）（i＝1，2）具有二阶连续导数，且fi″（x0）＜0（i＝1，2

题库2022-08-02  15
问题 设函数fi（x）（i＝1，2）具有二阶连续导数，且fi″（x0）＜0（i＝1，2），若两条曲线y＝fi（x）（i＝1，2）在点（x0，y0）处具有公切线y＝g（x），且在该点处曲线y＝f1（x）的曲率大于曲线y＝f2（x）的曲率，则在x0的某个邻域内，有（　　）。A． f1（x）≤f2（x）≤g（x） B． f2（x）≤f1（x）≤g（x） C． f1（x）≤g（x）≤f2（x） D． f2（x）≤g（x）≤f1（x）
选项 A． f1（x）≤f2（x）≤g（x）
B． f2（x）≤f1（x）≤g（x）
C． f1（x）≤g（x）≤f2（x）
D． f2（x）≤g（x）≤f1（x）
答案 A
解析 由题可知，f1（x0）＝f2（x0）＝g（x0），f1′（x0）＝f2′（x0）＝g′（x0），且根据曲率大小关系有f1″（x0）＜f2″（x0），g″（x0）＝0。
令F（x）＝f1（x）－f2（x），则F（x0）＝0，F′（x0）＝f1′（x0）－f2′（x0）＝0，F″（x0）＝f1″（x0）－f1″（x0）＜0。所以，F（x0）＝0为F（x）的一个极大值，即在x0的某个邻域内F（x）≤0，也即f1（x）≤f2（x）。
同理设G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在x0的某个邻域内G（x）≤0，也即fi（x）≤g（x）。
综上，在x0的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。
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