证明n阶矩阵与相似。

练习题库2022-08-02 16

问题证明n阶矩阵

与

相似。

选项

答案

解析证明：设

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

所以A的n个特征值为λ1＝n，λ2＝λ3＝…＝λn＝0；而且A是实对称矩阵，故一定可以对角化，且

而

所以B的n个特征值也为λ1＝n，λ2＝λ3＝…＝λn＝0；对于n－1重特征值λ＝0，由于r（0E－B）＝r（－B）＝1，故矩阵B对应n－1重特征值λ＝0的特征向量应该有n－1个线性无关，进一步矩阵B存在n－1个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且

故可知n阶矩阵

与

相似。

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