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设函数f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足f（0）＞0，g（0）＜0，f′（

admin2022-08-02  15
问题 设函数f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足f（0）＞0，g（0）＜0，f′（0）＝g′（0）＝0，则函数z＝f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（　　）。A． f″（0）＜0，g″（0）＞0 B． f″（0）＜0，g″（0）＜0 C． f″（0）＞0，g″（0）＞0 D． f″（0）＞0，g″（0）＜0
选项 A． f″（0）＜0，g″（0）＞0
B． f″（0）＜0，g″（0）＜0
C． f″（0）＞0，g″（0）＞0
D． f″（0）＞0，g″（0）＜0
答案 A
解析 由z＝f（x）g（y）得?z/?x＝f′（x）g（y）?z/?y＝f（x）g′（y）B＝?2z/?x?y＝f′（x）g′（y）A＝?2z/?x2＝f″（x）g（y）C＝?2z/?y2＝f（x）g″（y）在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由可得，（0，0）是z＝f（x）g（y）可能的极值点。若z＝f（x）g（y）在（0，0）有极小值。由AC－B2＞0且A＞0?f″（0）＜0，g″（0）＞0故选A项。
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