已知矩阵，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（　　），

免费题库2022-08-02 91

问题已知矩阵

，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（　　），使PTAP为对角矩阵。

选项

答案 D

解析因为A－E为降秩矩阵，所以行列式|A－E|＝0，即

解得a＝1或4。设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，因A的特征值之和等于A的迹，则有λ1＋λ2＋λ3＝3a－3，可见当a＝1时，λ1＋λ2＋λ3最小，所以

。

所以矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1。

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