2. 从业资格
  3. 某教师在进行圆锥曲线的教学时．给学生出了如下一道练习题： 求过点（0，1）的直

某教师在进行圆锥曲线的教学时．给学生出了如下一道练习题： 求过点（0，1）的直

免费题库2022-08-02  57
问题 某教师在进行圆锥曲线的教学时．给学生出了如下一道练习题：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点。某学生的解答过程如下：问题：（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；（7分）（2）给出你的正确解答；（7分）（3）指出你解题所运用的数学思想方法。（6分）
选项
答案
解析 （1）错解分析：这个算法共有三处错误。第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑斜率不存在的情形，实际上就是对直线的点斜式理解不透，以为点斜式可以表示所有直线。第二．题目要求直线与抛物线只有一个公共点，它包含相交和相切两种情况．而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。第三，将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后．直接用判别式解题，是对一元二次方程形式不熟悉的表现，没注意到二次项系数为零时，方程不是一元二次方程，不能用二次方程相关知识解题，需要对k为零和不为零进行讨论。这三处错误，都体现出对基本概念的特征理解不明确。（2）正确解答：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以方程为x=0即y轴，它正好与抛物线y2=2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个公共点。一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1（k≠0）则（3）解题时运用了分类讨论、化归的数学思想方法。
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