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设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明： （1）V1={x|（x

最全题库2022-08-02  46
问题 设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：（1）V1={x|（x，α）=O,x∈V}是V的子空间；（2）V1的维数等于n-1。
选项
答案
解析 （1）设x，y∈V，（x，α）=0∈V1，（y，α）=0∈V1，
有x+y∈V，（x+y，α）=（x，α）+（y，α）=0∈V1，所以对加法封闭；
设k∈P，有（kx，α）=k（x，α）=0∈V1，所以对数乘也封闭，所以V1是V的子空间。
（2）设x=（x1，x2，…，xn）∈V，α=（α1，α2，…，αn）≠0，
（x，α）=α1x1+α2x2+…αnxn=0，因为α≠0，所以r（α）=1，进而可知，齐次线性方程α1x1+α2x2+…+αnxn=0含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是V1的一组基，所以V1的维数等于n-1。
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