设V是n维欧氏空间,α≠0是V中的一个固定向量,证明: (1)V1={x|(x

最全题库2022-08-02  38

问题 设V是n维欧氏空间,α≠0是V中的一个固定向量,证明:(1)V1={x|(x,α)=O,x∈V}是V的子空间;(2)V1的维数等于n-1。

选项

答案

解析 (1)设x,y∈V,(x,α)=0∈V1,(y,α)=0∈V1,
有x+y∈V,(x+y,α)=(x,α)+(y,α)=0∈V1,所以对加法封闭;
设k∈P,有(kx,α)=k(x,α)=0∈V1,所以对数乘也封闭,所以V1是V的子空间。
(2)设x=(x1,x2,…,xn)∈V,α=(α1,α2,…,αn)≠0,
(x,α)=α1x1+α2x2+…αnxn=0,因为α≠0,所以r(α)=1,进而可知,齐次线性方程α1x1+α2x2+…+αnxn=0含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是V1的一组基,所以V1的维数等于n-1。
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