2. 从业资格
  3. 在学习了角平分线的性质定理之后，某教师设计了一节习题课的教学目标： ①进一步理

在学习了角平分线的性质定理之后，某教师设计了一节习题课的教学目标： ①进一步理

免费题库2022-08-02  110
问题 在学习了角平分线的性质定理之后，某教师设计了一节习题课的教学目标：①进一步理解角平分线的性质；②能够灵活地运用角平分线的性质来解决数学问题；③会运用角平分线尺规作图并解决实际问题。他的教学过程设计中包含了下面的两道例题。例题1：如图1，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，求证：AC+CD=AB。例题2：如图2，规划在城市A，B，C之间的三角区M建设一个物流中转中心，使它到公路AB，AC，BC的距离相等，试画图求出物流中心的建设位置。针对上述材料，完成下列任务：（1）结合该教师的教学目标，分析例题1和例题2的设计意图；（15分）（2）设计例题1的简要教学过程，并给出解题后的小结提纲。（15分）
选项
答案
解析 （1）例题1的设计意图例题1的证明需要构造辅助线，即从D点向AB作垂线，交AB于E点，然后根据角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）和题中条件得到CD=DE，AC=AE，再根据题中条件分析△DEB（等腰直角三角形），进而得到DE=EB，从而可证得AC+CD=AE+DE=AE+EB=AB。因此，在练习过程中可以进一步使学生理解角平分线的性质定理，学会利用角平分线的性质解决问题，顺利达成①和②的教学目标。同时根据找到的相等的线段，将要求证明的等式AC+CD=AB进行转化，可以进一步提高学生利用转化的数学思想解决问题的能力，辅助线技巧的引入，有助于开拓学生的思维方式，丰富学生掌握的数学解题方法。例题2的设计意图例题2是一个实际应用题，问题的解决需要学生深刻理解角平分线的性质并会把该数学性质与实际问题联系在一起，懂得将实际问题抽象成为一般的数学模型，进一步加深了学生对角平分线性质的认识，并利用该性质解决实际问题，能够达成①和②的教学目标。问题的解决需要学生用尺规作图法解答，从而顺利达成③的教学目标。（2）教学过程教师在多媒体上播放例题1中的图片，先给予学生一段时间自主思考，独立解答，教师巡查。若绝大多数学生能够顺利解答出答案，则教师挑选几个学生在黑板上写下自己的证明过程，并让其说出依据，教师给予一定的评价。若学生的解答有困难，则教师让学生分组讨论，集思广益，在交流合作中得出结果，同时教师通过设问的方式层层引导学生思考，降低习题的难度。问题1：由∠ACB=90°，AD平分∠CAB可以得到什么结论?（CD的长度表示的是∠CAB平分线上一点D到边AC的距离）教师将BD擦去，让学生观察。问题2：由问题1可知CD的长度表示的是D点到边AC的距离，根据角平分线性质，思考一下D点到∠CAB另一边AB的距离怎么表示呢?（引导学生作辅助线）问题3：根据所作的辅助线，可以得到哪些相等的线段?（AC=AE，CD=DE，所以AC+CD=AE+DE）问题4：想想还有什么条件没用，△ABC和△DEB是特殊三角形吗?学生经过教师的启发，自主思考解答，当大多数学生得出正确结论后，教师随机让学生谈一谈解答步骤、思考过程以及之前思考时的误区，总结心得，教师给予积极评价。最后，教师可以在多媒体或黑板上给出证明过程。证明：从D点向AB作垂线，交AB于E点（如图），∵AD平分∠CAB，且∠ACB=90°，DE⊥AB，∴AC=AE．CD=DE．∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。∴△DEB也是等腰直角三角形，∴DE=EB，∴AC+CD=AE+DE=AE+EB=AB。小结提纲1：题中给出角平分线条件时，要思考角平分线带来的隐含条件，如最基本的平分出两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距离相等。要学会挖掘题设的隐含条件，这就需要我们扎实地掌握基础知识，能够做到举一反三。小结提纲2：当直接解答困难时，可以适当地添加辅助线，将问题转化为容易求解或证明的形式。辅助线的添加需要对题目有深刻的认识以及对相关基础知识的牢固把握，所以需要重视对基础知识的学习并且要做有针对性的练习。小结提纲3：知识之间有着多种关联性，题目的考察也不可能只涉及一个知识点（如本题不仅涉及角平分线性质的考察，还涉及等腰直角三角形性质的知识），这就要求我们要融会贯通，合理地利用已学知识，具体分析求解。
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