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  3. 函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方

函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方

考试题库2022-08-02  10
问题 函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列 等内容。
选项
答案
解析 函数是中学数学课程的主线，它贯穿于整个中学数学课程中，方程、不等式、数列等内容均与函数有非常密切的联 系。①函数与方程。中学数学课程中-元二次方程的求解问题，可以转化成求对应函数的零点问题。例如，求方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，可以转化为求函数 Y=O,x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值，即求函数的零点问题。由 此可以看出，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与 x 轴的交点问题。利用函数的整体 性质可以研究方程的根的性质，判断根的个数，并估计根所在的区间。 ②函数与不等式。用函数的观点看，不等式就是确定使函数 Y=f(x)图像在 x 轴上方或下方的 x 的区域。中学数学课 程中的-元二次不等式的求解问题，可以借助二次函数的图像找到不等式的解集。例如，求不等式 x2—3x+2>0 的解 集，可以通过画出函数 f(x)=x2-3x+2 的图像找到使函数值大于 0 的所有 x 组成的集合，而这个集合就是该不等式的 解集。 ③函数与数列。数列是-种特殊的函数，它的定义域为自然数集或自然数子集。数列是离散的函数，表现在坐标系 中是-些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列，等差数列的通项公式是-次函数的离散化， 等差数列的前 n 项和公式是二次函数的离散化，等比数列的通项公式以及前 n 项和公式都是指数函数的离散化，因 此可以借助函数的性质来研究数列。例如，求等差数列的前 n 项和 Sn=n2—4n 在第几项取得最小值，可以将其转化 为求函数 f(x)=x2--4x 的顶点横坐标问题，根据函数的顶点坐标公式可知，当 x=2 时，函数．f(x)取得最小值，即Sn 在第 2 项取得最小值。总之，在方程、不等式、数列等内容中，可以用函数思想思考、解决问题，用函数的概念 和性质去分析问题、 转化问题和解决问题。
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