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函数是中学数学课程的主线,请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方
函数是中学数学课程的主线,请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方
考试题库
2022-08-02
6
问题
函数是中学数学课程的主线,请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列 等内容。
选项
答案
解析
函数是中学数学课程的主线,它贯穿于整个中学数学课程中,方程、不等式、数列等内容均与函数有非常密切的联 系。①函数与方程。中学数学课程中-元二次方程的求解问题,可以转化成求对应函数的零点问题。例如,求方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,可以转化为求函数 Y=O,x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值,即求函数的零点问题。由 此可以看出,方程可看作函数的局部性质,求方程的根就变成了思考函数图形与 x 轴的交点问题。利用函数的整体 性质可以研究方程的根的性质,判断根的个数,并估计根所在的区间。 ②函数与不等式。用函数的观点看,不等式就是确定使函数 Y=f(x)图像在 x 轴上方或下方的 x 的区域。中学数学课 程中的-元二次不等式的求解问题,可以借助二次函数的图像找到不等式的解集。例如,求不等式 x2—3x+2>0 的解 集,可以通过画出函数 f(x)=x2-3x+2 的图像找到使函数值大于 0 的所有 x 组成的集合,而这个集合就是该不等式的 解集。 ③函数与数列。数列是-种特殊的函数,它的定义域为自然数集或自然数子集。数列是离散的函数,表现在坐标系 中是-些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列,等差数列的通项公式是-次函数的离散化, 等差数列的前 n 项和公式是二次函数的离散化,等比数列的通项公式以及前 n 项和公式都是指数函数的离散化,因 此可以借助函数的性质来研究数列。例如,求等差数列的前 n 项和 Sn=n2—4n 在第几项取得最小值,可以将其转化 为求函数 f(x)=x2--4x 的顶点横坐标问题,根据函数的顶点坐标公式可知,当 x=2 时,函数.f(x)取得最小值,即Sn 在第 2 项取得最小值。总之,在方程、不等式、数列等内容中,可以用函数思想思考、解决问题,用函数的概念 和性质去分析问题、 转化问题和解决问题。
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中学数学学科知识与教学能力
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