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（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导

admin2022-08-02  57
问题 （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）；（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且则f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。
选项
答案
解析 证明：（Ⅰ）取F（x）＝f（x）－{[f（b）－f（a）]（x－a）}/（b－a），由题意知，F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）＝f（a）－{[f（b）－f（a）]（a－a）}/（b－a）＝f（a），F（b）＝f（b）－{[f（b）－f（a）]（b－a）}/（b－a）＝f（a）。根据罗尔定理得，存在ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝f′（ξ）－[f（b）－f（a）]/（b－a）＝0，即f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。（Ⅱ）对于任意的t∈（0，δ），有f（x）在[0，t]上连续，（0，t）内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理有，其中ξ∈（0，t）。由于且当t→0＋时，ξ→0＋，所以故f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。
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