(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导

admin2022-08-02  47

问题 (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a);(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且则f+′(0)存在,且f+′(0)=A。

选项

答案

解析 证明:(Ⅰ)取F(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)](x-a)}/(b-a),由题意知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=f(a)-{[f(b)-f(a)](a-a)}/(b-a)=f(a),F(b)=f(b)-{[f(b)-f(a)](b-a)}/(b-a)=f(a)。根据罗尔定理得,存在ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=f′(ξ)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0,即f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。(Ⅱ)对于任意的t∈(0,δ),有f(x)在[0,t]上连续,(0,t)内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理有,其中ξ∈(0,t)。由于且当t→0+时,ξ→0+,所以故f+′(0)存在,且f+′(0)=A。
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