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设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α3满足A
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α3满足A
练习题库
2022-08-02
58
问题
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明:α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP。
选项
答案
解析
(Ⅰ)设存在数k1,k2,k3,使得k1α1+k2α2+k3α3=0①。由已知条件知Aα1=-α1,Aα2=α2。用矩阵A分别乘式①的左右两边,得-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0②。式①-②得2k1α1-k3α2=0。由于α1,α2为A的分别属于-1,1的特征向量,所以α1,α2线性无关,即k1=k3=0,代入①得k2α2=0。因为α2是A的特征向量,α2≠0,得k2=0,即k1=k2=k3=0,所以α1,α2,α3线性无关。(Ⅱ)由题意有
因为α1,α2,α3线性无关,所以矩阵P可逆,得
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数学三研究生题库研究生入学分类
数学三研究生
研究生入学
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