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设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于

考试题库2022-08-02  44
问题 设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为（　　）。A． （a1＋a3，a2，－a3） B． （a1＋a2，a2，－a3） C． （a1＋a3，－a3，a2） D． （a1＋a2，－a3，a2）
选项 A． （a1＋a3，a2，－a3）
B． （a1＋a2，a2，－a3）
C． （a1＋a3，－a3，a2）
D． （a1＋a2，－a3，a2）
答案 D
解析 a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量。可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足。故应选D项。
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