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  3. 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数

admin2022-08-02  49
问题 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）。A． λ＝1/2，μ＝1/2 B． λ＝－1/2，μ＝－1/2 C． λ＝2/3，μ＝1/3 D． λ＝2/3，μ＝2/3
选项 A． λ＝1/2，μ＝1/2
B． λ＝－1/2，μ＝－1/2
C． λ＝2/3，μ＝1/3
D． λ＝2/3，μ＝2/3
答案 A
解析 因λy1－μy2是y′＋p（x）y＝0的解，故（λy1－μy2）′＋p（x）（λy1－μy2）＝0。所以λ（y1′＋p（x）y1）′－μ（y2′＋p（x）y2）＝0。而由y1′＋p（x）y1＝q（x），y2′＋p（x）y2＝q（x），所以有（λ－μ）q（x）＝0。
又因λy1＋μy2是非齐次y′＋p（x）y＝q（x）的解，故（λy1＋μy2）′＋p（x）（λy1＋μy2）＝q（x）。所以（λ＋μ）q（x）＝q（x）。故λ＝μ＝1/2。
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