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(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,
练习题库
2022-08-02
54
问题
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a);(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
则f+′(0)存在,且f+′(0)=A。
选项
答案
解析
(Ⅰ)作辅助函数
易验证φ(x)满足:φ(a)=φ(b)。φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且
根据罗尔定理,可得在(a,b)内至少有一点ξ,使φ′(ξ)=0,即
∴f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。(Ⅱ)任取x0∈(0,δ),则函数f(x)满足:在闭区间[0,x0]上连续,开区间(0,x0)内可导,从而由拉格朗日中值定理可得:存在
使得
又由于
对上式(*)两边取x0→0+时的极限可得
故f+′(0)存在,且f+′(0)=A。
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数学二研究生题库研究生入学分类
数学二研究生
研究生入学
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