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  3. （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）可导，

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）可导，

练习题库2022-08-02  75
问题 （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）；（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且则f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。
选项
答案
解析 （Ⅰ）作辅助函数易验证φ（x）满足：φ（a）＝φ（b）。φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ′（ξ）＝0，即∴f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足：在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，从而由拉格朗日中值定理可得：存在使得又由于对上式（*）两边取x0→0＋时的极限可得故f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。
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