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(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η
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2022-08-02
29
问题
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),
则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ″(ξ)<0。
选项
答案
解析
证明:(Ⅰ)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则必存在最大值M和最小值m,即m≤f(x)≤M,x∈[a,b]。于是有
即
根据闭区间上连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点η∈[a,b],使得
因此而得证。(Ⅱ)根据(Ⅰ)中结论可得,存在η∈[2,3],使得
由
知η∈[2,3]。由φ(2)>φ(1),利用微分中值定理,存在ξ1∈(1,2),使得
由φ(2)>φ(η),利用微分中值定理,存在ξ2∈(2,η),使得
存在ξ∈(ξ1,ξ2)?(1,3),使得
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数学二研究生
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