已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数. 　　(Ⅰ)若f

资格题库2022-08-02 72

问题已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数.　　(Ⅰ)若f(x)=x，求方程的通解.　　(Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.

选项

答案

解析【解】(Ⅰ)若f(x)=x，则方程为y'+y=x通解为

(Ⅱ)设y(x)为方程的任意解，则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0，有(e^x［y(x+T)-y(x)］)'=0，即e^x［y(x+T)=y(x)］=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0，y(x)为唯一以T为周期的解.