非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则A

admin2022-08-02  45

问题 非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则A.r=m时,方程组A-6有解.B.r=n时,方程组Ax=b有唯一解.C.m=n时,方程组Ax=b有唯一解.D.r<n时,方程组Ax=b有无穷多解.

选项 A.r=m时,方程组A-6有解.
B.r=n时,方程组Ax=b有唯一解.
C.m=n时,方程组Ax=b有唯一解.
D.r
答案 A

解析 因为A是m×n矩阵,若秩r(A)=m,则m=r(A)≤r(A,b)≤m.于是r(A)=r(A,b).故方程组有解,即应选(A).或,由r(A)=m,知A的行向量组线性无关,那么其延伸必线性无关,故增广矩阵(A,b)的m个行向量也是线性无关的,亦知r(A)=r(A,b).关于(B)、(D)不正确的原因是:由r(A)=n不能推导出r(A,b)=n(注意A是m×n矩阵,m可能大于n),由r(A)=r亦不能推导出r(A,b)=r,你能否各举一个简单的例子?至于(C),由克拉默法则,r(A)=n时才有唯一解,而现在的条件是r(A)=r,因此(C)不正确,
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