“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n>N时,恒有|xn-a|≤2ε

练习题库2022-08-02  36

问题 “对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n>N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件

选项 A.充分条件但非必要条件
B.必要条件但非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分条件又非必要条件

答案 C

解析 本题主要考查考生对数列极限的ε-N定义的理解.其定义是“对任意给定的ε>0,总存在正整数N,当n>N时,恒有|xn-a|<ε”显然,若|xn-a|<ε,则必有|xn-a|≤2ε,但反之也成立,这是由于ε的任意性,对于任意给定的ε1>0,取|xn-a|≤2ε中的,则有即,对任意给定的正数ε1>0,总存在正整数N,当n>N时,恒有|xn-a|<ε1,故应选(C).  【评注】到目前为止,考研试卷中还没考过利用极限定义证明,或的试题,但从本题可看出,要求考生理解极限的定义.
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