村民陶某承包一块长方形种植地,他将地分割成如图所示的4个小长方形,在A、B、C、

题库2022-08-02  44

问题 村民陶某承包一块长方形种植地,他将地分割成如图所示的4个小长方形,在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米,那么长方形D的最大面积是:A.42平方米B.49平方米C.64平方米D.81平方米

选项 A.42平方米
B.49平方米
C.64平方米
D.81平方米

答案 C

解析 解法一:第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类,用方程法解题。第二步,如图所示,设长方形A的宽为a,长为b,则a+b=10。长方形B的宽为c,则b+c=12。长方形C的长为d,则a+d=14,所以c+d=(a+d)+(b+c)-(a+b)=16,长方形D的周长为32。或者由于C的周长比A多28-20=8,与D比B多的周长一致,可知D的周长为24+8=32。第三步,周长一定,越接近正方形面积越大,故D为正方形时即边长为8时面积最大,此时面积等于8×8=64。因此,选择C选项。解法二:第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类,用方程法解题。第二步,设A的长和宽分别为x、y,由长方形A周长为20米,可得x+y=10;由长方形B周长24米,且长方形B与长方形A的长相同,可得B的长和宽分别为x、y+2;由长方形C周长28米,且长方形C与长方形A的宽相同,可得C的长和宽分别为x+4、y。那么长方形D的面积S=(x+4)(y+2)=(x+4)(10-x+2)=(x+4)(12-x),当且仅当x+4=12-x,即x=4时S取最大值,此时S=64,故长方形D的最大面积为64平方米。
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