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  3. 某工程计算中要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵

某工程计算中要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵

免费题库2022-08-02  33
问题 某工程计算中要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务。两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am×n*Bn×p，需要m*n*p次乘法运算。矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100，A2100×5，A35×50三个矩阵相乘为例，若按（A1*A2）*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按A1*（A2*A3）计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵＜A1,A2,….An>，矩阵Ai的维数为pi-1×pi，其中i=1,2,….n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*….Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题，则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，其中，cost[j]表示Ai+1*Ai+2*...Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。【C代码】算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是算法的C语言实现。（1）主要变量说明n：矩阵数seq[]：矩阵维数序列cost[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素cost[j]表示Ai+1*Ai+2*…Aj+1的最优计算的计算代价trace[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素trace[j]表示Ai+1*Ai+2*Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k（2）函数cmm#define?N?100int cost[N][N];int trace[N][N];int cmm(int n,int seq[]){int tempCost;int tempTrace;int i,j,k,p;int temp;for(i=0;i＜n;i++){cost=0;}for(p=1;p＜n;p++){for(i=0;（1）;i++){（2）;tempCost=-1;for(k=i;k＜j;k++){temp=（3）;if(tempCost==-1||tempCost>temp){tempCost=temp;（4）;}}cost[j]=tempCost;trace[j]=tempTrace;}}return cost[0][n-1];}【问题1】（8分）根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）~（4）。【问题2】（4分）根据以上说明和C代码，该问题采用了（5）算法设计策略，时间复杂度（6）。（用O符号表示）【问题3】（3分）考虑实例n=6，各个矩阵的维数：A1为5*10，A2为10*3，A3为3*12，A4为12*5，A5为5*50，A6为50*6，即维数序列为5,10,3,12,5,50,6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为（7）（用加括号方式表示计算顺序），所需要的乘法运算次数为（8）。
选项
答案
解析 【问题1】（1）i＜n-p（2）j=i+p（3）cost[k]+cost[k+1][j]+seq*seq[k+1]*seq[j+1]（4）tempTrace=k【问题2】（5）动态规划法（6）O（n3）【问题3】（7）((A1A2)((A3A4)(A5A6)))（8）2010在解答本题时，需要注意的第一个问题便是矩阵的乘法到底是怎么进行的。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。如：在本题中，题干部分提到“发现矩阵链乘问题具有最优子结构”，这是利用动态规划法求解最优解问题的典型特征。所以（5）应填动态规划法。接下来分析（1）-（4）空，这几个空中，最容易回答的是（3）和（4）。（3）空可通过题目给出的递归式分析得到，其中cost数组部分与公式完全一致，而p数组在程序中是seq，所以回答时修正即可，（3）填：cost[k]+cost[k+1][j]+seq*seq[k+1]*seq[j+1]。第（4）空的上一句为：tempCost=temp，即保存当前状态最优解，由于在保存最优解时，不仅涉及cost的记录，还涉及其位置k的记录，所以需要在此进行tempTrace=k的操作。（1）与（2）相对复杂，其中（1）是对i值范围的确定，而（2）是对j的赋值操作（由于后面用到了j，但程序中没有对j的赋值，从而断定该空是对j的赋值）。两者一并起到一个效果，对cost数组操作时的操作范围与顺序。由于在进行矩阵链乘操作时，分析解空间所用到的是cost右上角的三角矩阵，而操作时，是对这个三角矩阵从左至右，呈斜线的访问（如图所示）。所以（1）和（2）分别填i＜n-p和j=i+p。该程序由于涉及3重循环，所以时间复杂度为：O（n3）。通过手动运行程序的方式可知最优解为：（A1A2）（（A3A4）（A5A6））。总计算次数为2010。
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