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已知17个自然数(可有重复)的最小值是30,平均值是34,中位数是35,所有各数
已知17个自然数(可有重复)的最小值是30,平均值是34,中位数是35,所有各数
考试题库
2022-08-02
56
问题
已知17个自然数(可有重复)的最小值是30,平均值是34,中位数是35,所有各数到38的距离之和比到35的距离之和多5,由此可以推断,这17个数中只有1个( )。A.30B.34C.36D.37
选项
A.30
B.34
C.36
D.37
答案
D
解析
由于这17个数的中位数是35,所以肯定其中有1个数就是35,左边8个数小于或等于35,右边8个数大于或等于35。
以所有各数到35的距离之和为基础,考察各数到38的距离之和的变化。
左边和中间共9个数,每个数到38的距离都比到35的距离增加3,共增加27。因此,右边8个数,从离35转到离38的距离之和,应减少27-5=22。
设右边8个数中,有x个35,y个36,z个37,w个38或38以上。而35、36、37、38以上,对35和38的距离变化分别是+3、+1、-1、-3。所以应该有:
3x+y-z-3w=-22,x+y+z+w=8,x、y、z、w都是0~8之间的整数。
两式相加得2w-x+z=15,再减前式得w-2x-y=7。
W只能为7(若w=8,则x=y=z=0,上式不成立),从而x=y=0,z=1。即17个数中,只有1个37,没有36,中位数35的右边没有重复的35。
中位数35以及右边的8个数(1个37,7个至少38)到34的距离之和至少为32。
由于这17个数的平均值为34,因此,小于34的各数与34的距离之和也应该不少于32(如果左边8数中含有35,则该和数还应该更多)。由于17个数的最小值为30,它与34的距离为4,因此中位数左边8个数必须都是30。也就是说,17个数中,35也只有1个,并没有34,而30则有8个。
由于中位数左边8个数30与34的距离之和恰好等于32,因此35以及右边8个数与34的距离之和也必须正好等于32。因此35右边除了1个37外,其他只能是7个38。
这样就推断出,这17个数只能是:8个30,1个35,1个37,7个38。
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