已知17个自然数（可有重复）的最小值是30，平均值是34，中位数是35，所有各数

考试题库2022-08-02 55

问题已知17个自然数（可有重复）的最小值是30，平均值是34，中位数是35，所有各数到38的距离之和比到35的距离之和多5，由此可以推断，这17个数中只有1个（　　）。A.30B.34C.36D.37

选项 A.30
B.34
C.36
D.37

答案 D

解析由于这17个数的中位数是35，所以肯定其中有1个数就是35，左边8个数小于或等于35，右边8个数大于或等于35。
以所有各数到35的距离之和为基础，考察各数到38的距离之和的变化。
左边和中间共9个数，每个数到38的距离都比到35的距离增加3，共增加27。因此，右边8个数，从离35转到离38的距离之和，应减少27-5=22。
设右边8个数中，有x个35，y个36，z个37，w个38或38以上。而35、36、37、38以上，对35和38的距离变化分别是+3、+1、-1、-3。所以应该有：
3x+y-z-3w=-22，x+y+z+w=8，x、y、z、w都是0～8之间的整数。
两式相加得2w-x+z=15，再减前式得w-2x-y=7。
W只能为7（若w=8，则x=y=z=0，上式不成立），从而x=y=0，z=1。即17个数中，只有1个37，没有36，中位数35的右边没有重复的35。
中位数35以及右边的8个数（1个37，7个至少38）到34的距离之和至少为32。
由于这17个数的平均值为34，因此，小于34的各数与34的距离之和也应该不少于32（如果左边8数中含有35，则该和数还应该更多）。由于17个数的最小值为30，它与34的距离为4，因此中位数左边8个数必须都是30。也就是说，17个数中，35也只有1个，并没有34，而30则有8个。
由于中位数左边8个数30与34的距离之和恰好等于32，因此35以及右边8个数与34的距离之和也必须正好等于32。因此35右边除了1个37外，其他只能是7个38。
这样就推断出，这17个数只能是：8个30，1个35，1个37，7个38。

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