罗尔定理:设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间

考试题库2022-08-02  85

问题 罗尔定理:设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

选项

答案

解析 证明:因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m。①若M=m,则f(x)在[a,b]上是常数f(x)=M,x∈[a,b]。从而f′(x)=0,因此,任取ξ∈(a,b),都有f′(ξ)=0。②若M≠m,则M,m中至少有一个不等于f(a),不妨设f(a)≠M,因此函数f(x)在(a,b)内某一点ξ处取得最大值M,下面证f′(ξ)=0:综上,得证。几何意义:设f(x)是一条连续光滑的曲线,并且在点A,B处的纵坐标相等,即f(a)=f(b),如图,那么我们容易看出,在弧AB上至少有一点C(ξf′(ξ)),曲线在点C处有水平切线。
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