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  3. 罗尔定理：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间

罗尔定理：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间

考试题库2022-08-02  106
问题 罗尔定理：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0。证明这个定理并说明其几何意义。
选项
答案
解析 证明：因为f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以f（x）在[a，b]上一定有最大值M和最小值m。①若M=m，则f（x）在[a，b]上是常数f（x）=M，x∈[a，b]。从而f′（x）=0，因此，任取ξ∈（a，b），都有f′（ξ）=0。②若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f（a），不妨设f（a）≠M，因此函数f（x）在（a，b）内某一点ξ处取得最大值M，下面证f′（ξ）=0：综上，得证。几何意义：设f（x）是一条连续光滑的曲线，并且在点A，B处的纵坐标相等，即f（a）=f（b），如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C（ξf′（ξ）），曲线在点C处有水平切线。
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