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设V是n,维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明： （1）V1={x|（

考试题库2022-08-02  63
问题 设V是n,维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：（1）V1={x|（x，α）=0，x∈V}是V的子空间；（5分）（2）V1的维数等于n-1。（5分）
选项
答案
解析 （1）任取x，y∈V1，则（x，α）=0，（y，α）=0。
因为（x+y，α）=（x，α）+（y，α）=0，
所以有x+y∈V1，即加法封闭；
设k∈P，有（kx，α）=k（x，α）=0，
所以kx∈V1，即数乘也封闭，
所以V1是V的子空间。
（2）设x=（x1，x2，…，xn）∈V1，则（x，α）=a1x1+a2x2+…+anxn=0，因为a≠0，所以r（a）=1，进而可知，齐次线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=0含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是V1的一个基，所以V1的维数等于n-1。
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