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设V是n,维欧氏空间,α≠0是V中的一个固定向量,证明: (1)V1={x|(
设V是n,维欧氏空间,α≠0是V中的一个固定向量,证明: (1)V1={x|(
考试题库
2022-08-02
72
问题
设V是n,维欧氏空间,α≠0是V中的一个固定向量,证明:(1)V1={x|(x,α)=0,x∈V}是V的子空间;(5分)(2)V1的维数等于n-1。(5分)
选项
答案
解析
(1)任取x,y∈V1,则(x,α)=0,(y,α)=0。
因为(x+y,α)=(x,α)+(y,α)=0,
所以有x+y∈V1,即加法封闭;
设k∈P,有(kx,α)=k(x,α)=0,
所以kx∈V1,即数乘也封闭,
所以V1是V的子空间。
(2)设x=(x1,x2,…,xn)∈V1,则(x,α)=a1x1+a2x2+…+anxn=0,因为a≠0,所以r(a)=1,进而可知,齐次线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=0含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是V1的一个基,所以V1的维数等于n-1。
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