2. 从业资格
  3. 证明方程xex=1在区间（0，1）内有且仅有一个实数根。

证明方程xex=1在区间（0，1）内有且仅有一个实数根。

资格题库2022-08-02  21
问题 证明方程xex=1在区间（0，1）内有且仅有一个实数根。
选项
答案
解析 证明：令f（x）=xex-1，
∵f（x）在（0，1）上连续，且有f（0）=-1＜0,f（1）=e-1>0，
则由零点定理知，至少存在一个ξ∈（0，1），使得ξeξ=0，即ξeξ=1。又∵f（x）=（x+1）ex>0，x∈（0，1），
∴f（x）在[0，1]上单调递增，
∴方程xex=1在（0，1）内有且仅有一个实数根。
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