设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）＝0

考试题库2022-08-02 37

问题设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）＝1/3，证明：存在ξ∈（0，1/2），η∈（1/2，1），使得f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。

选项

答案

解析证明：设函数F（x）＝f（x）－x3/3，由题意知F（0）＝0，F（1）＝0。在[0，1/2]和[1/2，1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

二式相加得：

即f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。

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数学二研究生

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