设（Ⅰ）求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

考试题库2022-08-02 33

问题设

（Ⅰ）求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量ξ2，ξ3，证明：ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

选项

答案

解析（Ⅰ）解方程Aξ2＝ξ1，则

由于r（A）＝2，故有一个自由变量，令x3＝2，由Ax＝0解得，x2＝－1，x1＝1。求特解，令x1＝x2＝0，得x3＝1。故

解方程A2ξ3＝ξ1，则

故有两个自由变量，令x2＝－1，x3＝0，由A2x＝0得x1＝1。令x2＝0，x3＝1，由A2x＝0得x1＝0。求得特解为

故

（Ⅱ）证明：由于

故ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

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