设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y＝f（x）在点（

练习题库2022-08-02 47

问题设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x＝x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）＝2，求f（x）表达式。

选项

答案

解析曲线的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），切线与x轴的交点为

，由切线x＝x0及x轴所围成面积

f（x）满足微分方程f2（x）＝8f′（x），为可分离变量的微分方程，整理可得8dy＝y2dx。两端同时积分得f（x）＝－8/（x＋C），由初值条件f（0）＝2，代入可得C＝－4，从而f（x）＝8/（4－x）。

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数学三研究生

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