设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意x0∈I,曲线y=f(x)在点(

练习题库2022-08-02  39

问题 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意x0∈I,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)表达式。

选项

答案

解析 曲线的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),切线与x轴的交点为,由切线x=x0及x轴所围成面积f(x)满足微分方程f2(x)=8f′(x),为可分离变量的微分方程,整理可得8dy=y2dx。两端同时积分得f(x)=-8/(x+C),由初值条件f(0)=2,代入可得C=-4,从而f(x)=8/(4-x)。
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