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设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[

admin2022-08-02  27
问题 设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（　　）。A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）
选项 A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）
B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）
C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）
D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）
答案 D
解析 方法一：如果熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可直接做出判断，若对区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有f[（1－λ）x1＋λx2]≥（1－λ）f（x1）＋λf（x2），则曲线是凸的，显然此题中x1＝0，x2＝1，λ＝x，则（1－λ）f（x1）＋λf（x2）＝f（0）（1－x）＋f（1）x＝g（x），而f[（1－λ）x1＋λx2]＝f（x）；故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即f[（1－λ）x1＋λx2]≤（1－λ）f（x1）＋λf（x2），故f（x）≤g（x）。方法二：如果不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，可令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x）。故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，故f（x）≤g（x）。
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