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设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[
设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[
admin
2022-08-02
58
问题
设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )。A.当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x)B.当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x)C.当f″(x)≥0时,f(x)≥g(x)D.当f″(x)≥0时,f(x)≤g(x)
选项
A.当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B.当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C.当f″(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D.当f″(x)≥0时,f(x)≤g(x)
答案
D
解析
方法一:如果熟悉曲线在区间[a,b]上凹凸的定义,则可直接做出判断,若对区间上任意两点x1,x2及常数0≤λ≤1,恒有f[(1-λ)x1+λx2]≥(1-λ)f(x1)+λf(x2),则曲线是凸的,显然此题中x1=0,x2=1,λ=x,则(1-λ)f(x1)+λf(x2)=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x),而f[(1-λ)x1+λx2]=f(x);故当f″(x)≥0时,曲线是凹的,即f[(1-λ)x1+λx2]≤(1-λ)f(x1)+λf(x2),故f(x)≤g(x)。方法二:如果不熟悉曲线在区间[a,b]上凹凸的定义,可令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x则F(0)=F(1)=0,且F″(x)=f″(x)。故当f″(x)≥0时,曲线是凹的,从而F(x)≤F(0)=F(1)=0,即F(x)=f(x)-g(x)≤0,故f(x)≤g(x)。
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