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设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[
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2022-08-02
25
问题
设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )。A. 当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x) B. 当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x) C. 当f″(x)≥0时,f(x)≥g(x) D. 当f″(x)≥0时,f(x)≤g(x)
选项
A. 当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B. 当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C. 当f″(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D. 当f″(x)≥0时,f(x)≤g(x)
答案
D
解析
方法一:若熟悉曲线在区间[a,b]上凹凸的定义,则可以直接做出判断,显然g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x是连结(0,f(0))(1,f(1))两点的直线方程,故当f″(x)≥0时,曲线是凹的,即在区间[0,1]上f(x)≤g(x)。
方法二:若不熟悉曲线在区间[a,b]上凹凸的定义,则可令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,则F(0)=F(1)=0,且F″(x)=f″(x),故当f″(x)≥0时,曲线F(x)是凹的,从而F(x)≤F(0)=F(1)=0,即在区间[0,1]上F(x)=f(x)-g(x)≤0,即f(x)≤g(x)。
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数学二研究生
研究生入学
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