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设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[

最全题库2022-08-02  11
问题 设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（　　）。A． 当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x） B． 当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x） C． 当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x） D． 当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）
选项 A． 当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）
B． 当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）
C． 当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）
D． 当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）
答案 D
解析 方法一：若熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可以直接做出判断，显然g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x是连结（0，f（0））（1，f（1））两点的直线方程，故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即在区间[0，1]上f（x）≤g（x）。
方法二：若不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，曲线F（x）是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即在区间[0，1]上F（x）＝f（x）－g（x）≤0，即f（x）≤g（x）。
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