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设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存
题库
2022-08-02
51
问题
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f″(η)+f′(η)=1。
选项
答案
解析
证明:(Ⅰ)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),于是f(0)=0。
令φ(x)=f(x)-x,运用罗尔中值定理,∵φ(0)=0,φ(1)=0,φ(0)=φ(1),∴?ξ∈(0,1)使φ′(ξ)=0。而φ′(x)=f′(x)-1,∴f′(ξ)=1。
(Ⅱ)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),?-f′(x)=-f′(x),即f′(x)为偶函数。
又∵f′(x)为偶函数,∴f′(-ξ)=1。
令h(x)=ex[f′(x)-1]。∵h(-ξ)=h(ξ)=0,∴?η∈(-ξ,ξ)?(-1,1),使h′(η)=0。而h′(x)=ex[f′(x)-1]+exf″(x)=ex[f′(x)+f″(x)-1],且ex≠0。∴f″(η)+f′(η)=1。
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数学二研究生
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