2. 学历类
  3. 设n元线性方程组Ax＝b，其中 （Ⅰ）证明行列式|A|＝（

设n元线性方程组Ax＝b，其中 （Ⅰ）证明行列式|A|＝（

题库2022-08-02  60
问题 设n元线性方程组Ax＝b，其中（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）an；（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解。
选项
答案
解析 证明：（Ⅰ）方法一：数学归纳法记以下用数学归纳法证明Dn＝（n＋1）an。当n＝1时，D1＝2a，结论成立；当n＝2时，结论成立；假设结论对小于n的情况成立。将Dn按第一行展开得故|A|＝（n＋1）an。方法二：消元法记（Ⅱ）当a≠0时，方程组系数行列式Dn≠0，故方程组有唯一解。由克莱姆法则，将Dn得第一列换成b，得行列式为所以，当a≠0时，有唯一解（Ⅲ）当a＝0时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以方程组有无穷多组解，其通解为x＝（0，1，0，…，0）T＋k（1，0，…，0）T，其中k为任意常数。
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