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设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(
设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(
题库
2022-08-02
42
问题
设n元线性方程组Ax=b,其中
(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an;(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1;(Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解。
选项
答案
解析
证明:(Ⅰ)方法一:数学归纳法记
以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an。当n=1时,D1=2a,结论成立;当n=2时,
结论成立;假设结论对小于n的情况成立。将Dn按第一行展开得
故|A|=(n+1)an。方法二:消元法记
(Ⅱ)当a≠0时,方程组系数行列式Dn≠0,故方程组有唯一解。由克莱姆法则,将Dn得第一列换成b,得行列式为
所以,当a≠0时,有唯一解
(Ⅲ)当a=0时,方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵的秩均为n-1,所以方程组有无穷多组解,其通解为x=(0,1,0,…,0)T+k(1,0,…,0)T,其中k为任意常数。
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数学二研究生
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