欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1，y’(1)=2的解为__

考试题库2022-08-02 54

问题欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1，y’(1)=2的解为______．

选项

答案

解析 y=x2作变换x=et，则y'(t)=y’(x)et=xy'(x)，y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x)，则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，其特征方程为λ2—4=0，特征根为λ1=2，λ2=-2，则该方程的通解为

，又y(1)=1，y’(1)=2，故C1=1，C2=0，所以y=x2．