曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4的拐点是A.A(1，

免费题库2022-08-02 11

问题曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4的拐点是A.A(1，0)B.(2，0)C.(3,0)D.(4,0)

选项 A.A(1，0)
B.(2，0)
C.(3,0)
D.(4,0)

答案 C

解析 (方法一)图示法：由曲线方程y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4可知，该曲线和x轴有四个交点，即x=1，x=2，x=3，x=4，且在x=2取极大值，x=4取极小值，则拐点只能在另外两个点上，由下图不难看出(3，0)为拐点，故应选(C).

　(方法二)记g(x)=(x-1)(x-2)^2(x-4)^4，则y-(x-3)^3g(x)　　设g(x)在x=3处的泰勒展开式为g(x)=a0+a1(x-3)+…　　则y=a0(x-3)^3+a0(x-3)^4+…　　由该式可知y"(3)=0，y'"(3)=a0·3！≠0　　因为a0=g(3)≠0.由拐点的第二充分条件知，(3，0)为拐点