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在一个圆柱形电容器中,置有两层同轴的圆柱体,其内导体的半径为2cm,外导体的内半
在一个圆柱形电容器中,置有两层同轴的圆柱体,其内导体的半径为2cm,外导体的内半
admin
2022-08-02
72
问题
在一个圆柱形电容器中,置有两层同轴的圆柱体,其内导体的半径为2cm,外导体的内半径为8cm,内外两绝缘层的厚度分别为2cm和4cm,内外导体间的电压为150V(以外导体为电位参考点)。设有一根薄的金属圆柱片放在两层绝缘体之间,为了使两层绝缘体内的最大场强相等,金属圆柱片的电位应为( )。A.100VB.250VC.667VD.360V
选项
A.100V
B.250V
C.667V
D.360V
答案
A
解析
方法一:设内层介质介电常数为ε1,外层介质介电常数为ε2,圆柱体的单位长度电荷量为τ。由高斯公式可得,内外层绝缘体的电场强度分别为:E1=τ/(2πε1r),E2=τ/(2πε2r)。内层介质最大场强出现在r1=2cm处,外层介质最大场强出现在r2=4cm处,要使两层介质最大场强相等,则有:τ/(2πε1r)=τ/(2πε2r)。由此可知:τ/(2πε1)=τ/(2πε2),ε1=2ε2。假设无穷远处点位为0,则内外导体之间的电压为:U=τ/(2πε1)ln(4/2)+τ/(2πε2)ln(8/4)=150V,所以金属圆柱的电位:U1=τ/(2πε2)ln(8/4)=100V。方法二:如题解图所示,设金属圆柱片的电位为φ(电位参考点取在外导体上),则有:φ=τ2/(2πε2)ln(c/b)。由于内导体与金属圆柱片间的电压为:U0=τ2/(2πε2)ln(c/b),由题知内外导体间的电压为150V,则有U0=150-φ,即:150-φ=τ1/(2πε1)ln(b/a)。联立式以上方程可得:τ1=(2πε1)(150-φ)/ln(b/a),τ2=(2πε2φ)/ln(c/b)。由于E1=τ1/(2πε1r),E2=τ2/(2πε2r),所示最大电场强度出现在r=a时,有:E1max=τ1/(2πε1a);当r=b时,有:E2max=τ2/(2πε2b)。欲使E1max=E2max,则:τ1/(2πε1a)=τ2/(2πε2b)。由以上计算结果可得:(150-φ)/[aln(b/a)]=φ/[bln(c/b)],所以:(150-φ)/(2ln2)=φ/(4ln2),可得金属圆柱片的电位为:φ=100V。
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