设流场的表达式为:ux=-x+t,uy=y+t,uz=0。求t=2时,通过空间点

练习题库2022-08-02  44

问题 设流场的表达式为:ux=-x+t,uy=y+t,uz=0。求t=2时,通过空间点(1,1,1)的迹线为(  )。A.x=t-1,y=4et-2-t+1,z=1B.x=t+1,y=4et-2-t-1,z=1C.x=t-1,y=4et-2-t-1,z=1D.x=t+1,y=4et-2+t+1,z=1

选项 A.x=t-1,y=4et-2-t+1,z=1
B.x=t+1,y=4et-2-t-1,z=1
C.x=t-1,y=4et-2-t-1,z=1
D.x=t+1,y=4et-2+t+1,z=1

答案 C

解析 解法一。当t=2时,x=1,y=1,z=1。则将ABCD四项均带入t=2,求x、y、z,经计算,只有C项符合题意。
解法二。迹线的方程为:dx/ux=dy/uy=dz/uz=dt。则dx/dt=ux=-x+t,dy/dt=uy=y+t,dz/dt=uz=0。计算步骤如下:
①设-x+t=X,y+t=Y,则x=t-X,y=Y-t。
②代入方程可得,d(t-X)/dt=X,d(Y-t)/dt=Y,dz/dt=0。
③对方程进行积分,可得ln(X-1)=-t+c1,ln(Y+1)=t+c2,z=1。则X-1=C1e-t=-x+t-1,Y+1=C2et=y+t+1。因此,x=-C1et+t-1,y=C2et-t-1,z=1。又当t=2时,x=1,y=1,解得:C1=0,C2=4/e2。代入C1、C2,整理得:x=t-1,y=4et-2-t-1。
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