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  3. 甲、乙等16人参加乒乓球淘汰赛,每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者

甲、乙等16人参加乒乓球淘汰赛,每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者

资格题库2022-08-02  73
问题 甲、乙等16人参加乒乓球淘汰赛,每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者进入下一轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对乙的胜率为0%，对其他14人的胜率均为100%。则甲夺冠的概率为：
选项
答案 B
解析 解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，比赛分为四轮，分别为16进8，8进4，4进2，2进1。甲要想获胜，只要不遇见乙即可。在四次选择对手的随机过程中，每次遇见乙的几率都是1/15，因此遇见乙的概率为，那么未遇见乙即甲获胜的概率为。解法二：第一步，本题考查概率问题。第二步，比赛分为四轮，分别为16进8，8进4，4进2，2进1，甲要想获胜，只要不遇见乙即可，那么需要在前三轮中把乙淘汰。乙淘汰的情况有三种：①在第一轮淘汰的概率为；②在第二轮淘汰的概率为；③在第三轮淘汰的概率为。三种情况的概率加和为。解法三：第一步，本题考查概率问题。第二步，使用逆向思维，计算甲在这四轮中分别被淘汰的概率。如果甲在第一轮被淘汰，共16人参加，甲从剩下的15人中挑选对手，挑到乙的概率是1/15，所以第一轮被淘汰的概率是1/15；如果甲在第二轮被淘汰，第一轮甲的15个潜在对手中，除乙外还有14人，胜出的概率是14/15，乙第一轮胜出的概率为1/2，第二轮中，甲从剩下的7人中挑选对手，挑到乙的概率是1/7，所以第二轮被淘汰的概率是14/15×1/2×1/7=1/15；如果甲在第三轮被淘汰，那么第一轮胜出，概率为14/15×1/2，第二轮胜出，概率为6/7×1/2，第三轮还剩下4个人，挑到乙的概率是1/3，所以第三轮被淘汰的概率是14/15×1/2×6/7×1/2×1/3=1/15；如果甲在第四轮被淘汰，那么前三轮胜出，14/15×1/2×6/7×1/2×2/3，所以第四轮被淘汰的概率为14/15×1/2×6/7×1/2×2/3×1/2×1=1/15。所以甲夺冠的概率=1-4×1/15=11/15。
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