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设函数φ(x)具有二阶连续导数且φ(0)=0,并且已知yφ(x)dx+[sinx
设函数φ(x)具有二阶连续导数且φ(0)=0,并且已知yφ(x)dx+[sinx
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2022-08-02
109
问题
设函数φ(x)具有二阶连续导数且φ(0)=0,并且已知yφ(x)dx+[sinx-φ(x)]dy=0是一个全微分方程,则φ(x)=( )。
选项
答案
A
解析
由于yφ(x)dx+[sinx-φ(x)]dy=0是一个全微分方程,故?Q/?x=?P/?y即cosx-φ′(x)=φ(x)。即φ′(x)+φ(x)=cosx。解此一阶微分方程得φ(x)=ce-x+(cosx)/2+(sinx)/2。又φ(0)=0,代入上式得c=-1/2,故φ(x)=-e-x/2+(cosx)/2+(sinx)/2。
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