1．可以。乡政府违反《婚姻登记条例》不给陈某、朱某办理结婚登记，侵犯了他们的婚姻自由权。陈某、朱某可以向人民法院提起行政诉讼。
2．法院收到起诉状时分情形处理：第一，对于符合起诉条件的，应当登记立案。第二，对于不能当场判定是否属于起诉条件的，应当接收起诉状，并出具注明收到日期的书面凭证。接收起诉状后，在7日内决定是否立案，符合起诉条件的，进行立案；不符合起诉条件的，作出载明不予立案理由的不予立案裁定。第三，对于收到起诉状时，发现起诉状内容欠缺或者有其他错误的，应当给予指导和释明，并一次性告知当事人需要补正的内容。
若法院接收起诉状后，在法定期限内既不立案，又不作出不予立案的裁定时，陈某、朱某可以向上一级法院起诉。上一级法院认为符合起诉条件的，应当予以立案、审理，也可以指定下级人民法院立案、审理。
3．陈某对不予办理结婚登记的行为不服，可以申请行政复议。复议机关应当是内璜乡政府的上一级政府即甲县政府。
4．陈某在2009年10月1 8日申请行政复议后，10月3 1日又向甲县人民法院提起行政诉讼，此时是在法定复议期间，人民法院应当裁定不予受理。
5．陈某和朱某为共同原告。作为共同原告，如果都拒不到庭，法院可以按撤诉处理。
6．人民法院应判决乡政府在一定期限内履行其法定职责。
本题的解答关键是结婚登记的性质。如上所述，结婚登记是行政确认，但有很多人误认为是行政许可。那么二者之间有何种紧密的关系呢？行政确认是指行政机关依职权或依申请，对法律上的事实、性质、权利、资格或者关系进行甄别和认定，依法定方式予以宣告的行政行为。行政许可是指行政机关根据公民、法人或者其他组织的申请，经依法审查，准予其从事特定活动的行为。
首先，二者的联系表现在：(1)两者都是要式的行政行为，都必须按照法律规定的程序和形式作出。
(2)行政确认往往是行政许可的前提和一个阶段，而行政许可均有行政确认的效果。行政机关作出行政许可决定之前，必须首先确认行政相对人是否符合法定的条件。
其次，二者的区别表现在：
(1)客体不同。行政确认的客体是法律上的事实、性质、权利、资格或者关系；而行政许可的对象是为法律普遍禁止的行为。
(2)效果不同。行政确认是对现有法律事实、行为、权利等的证明、肯定或否定，本身并不直接产生新的权利义务；而行政许可是恢复或赋予行政相对人权利。
(3)前提不同。行政许可的前提是法律对某种行为的普遍禁止，而行政确认没有这种限制。
