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  3. n*n矩阵可看作是n维空间中的线性变换，矩阵的特征向量经过线性变换后，只是乘以某

n*n矩阵可看作是n维空间中的线性变换，矩阵的特征向量经过线性变换后，只是乘以某

题库2022-08-02  105
问题 n*n矩阵可看作是n维空间中的线性变换，矩阵的特征向量经过线性变换后，只是乘以某个常数（特征值），因此，特征向量和特征值在应用中具有重要的作用。下面的矩阵（其中w1、w2、w3均为正整数）有特征向量 （w1， w2， w3）， 其对应的特征值为（  ）。A.1/3B.1C.3D.9
选项 A.1/3
B.1
C.3
D.9
答案 C
解析 本题考查数值计算基础知识。
   n*n矩阵A可看作是n维空间中的线性变换，它将任何一个向量X变换成新的向量（A的矩阵与列向量X的乘积）。例如，三维空间中的旋转变换就是一种线性变换，它将一个向量变换成另一个向量。由于旋转变换必然是绕某个轴旋转的，因此在这个旋转轴上的向量经过该旋转变换后得到的向量仍会保持在这根轴上。因此，这根轴上的向量很特殊，属于该旋转变换的特征向量。对于单纯的旋转变换来说，这根旋转轴保持不动，所以，这根旋转轴上的特征向量所对应的特征值为1。由于特征向量与特征值的这种关键作用，许多应用问题就是要寻找特定线性变换的一组特征向量及其相应的特征值。
   线性变换A的特征向量Y及其相应的特征值λ满足AY=λY；其几何意义就是特征向量Y经过线性变换A变换成向量λY（保持在同一轴上，只是乘以常数λ，放大或缩小λ倍，λ为负时变为相反方向）。
   本题中的矩阵A以及由w1、w2、w3组成的列向量W具有关系（可通过矩阵乘法得到）AW=3W，所以，（w1，w2，w3）是该矩阵的特征向量，其相应的特征值为3。
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