某公司购买长钢条,将其切割后进行出售。切割钢条的成本可以忽略不计,钢条的长度为整

免费题库2022-08-02  69

问题 某公司购买长钢条,将其切割后进行出售。切割钢条的成本可以忽略不计,钢条的长度为整英寸。已知价格表p,其中pi(i=1,2,…,m)表示长度为i英寸的钢条的价格。现要求解使销售收益最大的切割方案。求解此切割方案的算法基本思想如下:假设长钢条的长度为n英寸,最佳切割方案的最左边切割段长度为i英寸,则继续求解剩余长度为n-i英寸钢条的最佳切割方案。考虑所有可能的i,得到的最大收益rn对应的切割方案即为最佳切割方案。rn的递归定义如下:rn=max1≤i≤n(pi+rn-i)对此递归式,给出自顶向下和自底向上两种实现方式。【C代码】/*常量和变量说明n:长钢条的长度p[]:价格数组*/#define LEN 100int Top_Down_Cut_Rod(int p[],int n){/*自顶向下*/int r=0;int i;if(n==0){return 0;}for(i=1;(1);i++){int tmp=p+Top_Down_Cut_Rod(p,n-i);r=(r>=tmp)r:tmp;}return r;}int Bottom_Up_Cut_Rod(int p[],int n){/*自底向上*/int r[LEN]={0};int temp=0;int i,j;for(j=1;j<=n;j++){temp=0;for(i=1;(2);i++){temp=(3);}(4);}return r[n];}【问题1】(8分)根据说明,填充C代码中的空(1)~(4)。【问题2】(7分)根据说明和C代码,算法采用的设计策略为(5)。求解rn时,自顶向下方法的时间复杂度为(6);自底向上方法的时间复杂度为(7)(用O表示)。

选项

答案

解析 【问题1】
(1):i<=n
(2):i<=j
(3):(temp>=p+r[j-i])?temp:(p+r[j-i])
(4):r[j]=temp

(3):(temp>=r+r[j-i])?temp:(r+r[j-i])
(4):r[j]=(temp>p[j])?temp:p[j];
【问题2】
(5)动态规划法
(6)O(2n)
(7)O(n2)
【问题1】
在自顶向下实现过程中,n-i表示规模从大到小即n-1~0,即对应i的初始值为1,结束值为n,第一空填写i<=n,递归式也有范围提示可以参照。
在自底向上实现过程中,采用双重嵌套循环,内层循环从1~j,第二空填写i<=j。
第三空和第四空比较复杂,是具体的实现过程,是本题的难点。
根据题干内容,本题考查的是钢条切割问题最优化问题,求解的思路即先考虑最左侧的切割考虑,再依次向右扩展,中间的最优解结果记录在数组r[]中,并用temp中间变量传递最大值。
根据递归式rn=max1≤i≤n(pi+rn-i),即r[]最终结果是该过程的最大值,(3)空给temp赋值,那么(4)空应该是将这个中间值传给最终的rn,也就是代码中的r[j],即第四空填写r[j]=temp,那么此时第三空对应最大值的求取,也就是本算法的核心,这里的最大值是在1~j的规模范围循环比较,用temp放置本轮结果,再与下一轮结果进行比较,第三空temp=(temp>=p+r[j-i])?(temp:(p+r[j-i])。
【问题2】
题干中提到说考虑所有可能的i,得到最大收益的方式,而自底向上算法实现时,使用到数组把其中最优的解记录,并用r[]记录中间解,因此本题算法策略是动态规划法。
动态规划法自顶向下时需要对规模n进行求取,此时需要递归至规模1并最终返回结果规模n的解并记录,规模n-1同样如此,时间复杂度较大,可以达到O(2n);
动态规划法自底向上时先求取规模1的解并记录,然后查询规模1的解从而求解规模2的解,以此类推,直至求取至规模n,有查询和循环求解2层嵌套循环,时间复杂度为O(n2)。
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